선형대수학 공부 - 필드

필드

• 선형 대수학에서 말하는 필드는 수학적 체계를 나타내는 용어로 아래와 같은 조건을 만족하는 비어있지 않는 집합 F 와 두가지 연산 즉, 덧셈하고 곱셈으로 구성된다.

1. 덧셈에 대한 결합 법칙: a + (b + c) = (a + b) + c
2. 덧셈에 대한 항등원 : a + 0 = a
3. 덧셈에 대한 역원 : a + (-a) = 0
4. 덧셈에 대한 교환 법칙 : a + b = b + a
5. 곱셈에 대한 결합 법칙 : a * (b * c) = (a * b) * c
6. 곱셈에 대한 항등원 : a * 1 = a
7. 곱셈에 대한 역원 : a * a^(-1) = 1 (단, a ≠ 0)
8. 곱셈에 대한 교환 법칙 : a * b = b * a
9. 분배 법칙 : a * (b + c) = a * b + a * c

선형대학에서 필드가 중요한 이유

• 선형대수학에서 필드가 중요한 이유는 여러가지가 있는데, 필드는 벡터 공간과 선형 변환, 그리고 선형 방정식에 연관된 여러 개념들의 기초를 제공하며, 이러한 개념들은 선형 대수학의 핵심적인 부분이다.

1. 백터 공간의 기초 : 백터 공간의 필드 위에 정의된다. 즉, 벡터들의 성분은 해당 필드의 원소로 구성되어있다. 필드가 주어지면 벡터 공간의 구조와 성질이 결정되며, 벡터 공간에서의 연산 (덧셈, 스칼라 곱) 은 체의 연산에 의존한다.

2. 선형 방정식과 연립 선형 방정식은은 필드 위에서 정의되며, 연립 선형 방정식의 해를 구하는 과정에서 가우스 소거법, 가우스-조르당 소거법 등의 방법을 사용하며, 이러한 방법들은 필드의 연산을 기반으로 한다.

3. 선형 변환은 필드 위의 백터 공간의 사이의 함수로 정의되며, 행렬은 선형 변환을 나타내는 표현이다. 행렬의 연산 (덧셈, 곱셈, 역행렬)은 필드의 연산에 의존하며, 행렬의 성질과 행렬식의 계산도 필드와 관련되어 있다.

4. 고유값, 고유벡터 및 대각화 : 필드 위의 백터공간에서 선형 변환의 고유값과 고유 벡터를 찾을 수 있으며, 이를 통해 대각화 가능한 경우 행렬을 대각화 할 수 있다. 이러한 과정에서도 필드의 연산이 사용된다.

5. 다양한 수학 및 공학분야의 응용 : 필드는 선형 대수학 뿐만 아니라 다양한 수학 및 공학 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어서 finite field는 암호학, 에러 검출 및 수정 코드, 다항식 보간 등에서 사용되며, 복소수 필드는 공학에서의 신호처리, 제어 이론 등에 활용된다.

• 정수의 집합인 Z = {... , -2, -1, 0, 1, 2, ...} 는 실수 집합 R의 부분 집합이며, 이는 두 정수 m, n이 Z에 속하면 해당 정소의 합 m + n 과 곱 m * n 역시 Z에 속하게 되어, 연산을 통해서 다시 Z의 원소가 되는 것을 말한다. 이때 합과 곱의 연산은 항상 상위 집합인 R 에서 정의된다.

부분 집합

• F의 부분 집합 F_0 은 F 의 연산에 대해서 닫혀있다. 따라서 해당 부분 집합은 F 필드에서 성립할 수 있는 연산 조건이 모두 만족한다.

$$ \text{if} \ a,b \in F_0, \text{then} \ a + b \in F_0 \ and \ ab \in F_0 $$

참고 문헌